TERMODINAMIKA STATISZTIKAI FIZIKA - PDF ingyenes letöltés
Valentin Popov TERMODINAMIKAI ÉS STATISZTIKAI FIZIKAI PROBLÉMÁK SOFIA 9
TARTALOM TERMODINAMIKA ÉS STATISZTIKAI FIZIKA Termodinamika 3 I A termodinamika első és második elve 3 Az első elv általános problémái 3 Gázok 6 Fekete sugárzás A második elv általános problémái Ciklusok 5 II Termodinamikai potenciálok és egyensúlyi feltételek 3 Általános 34 Feladatok 4 A módszer alkalmazása termodinamikai potenciálok 38 Ideális gáz 38 Van der Waals gáz 4 Ideális paramágneses 46 Rugalmas rúd 5 Rugalmas menet 54 Fekete sugárzás 56 Statisztikai fizika 58 I Klasszikus statisztikai fizika 58 Általános feladatok 58 Specifikus rendszerek problémái 6 II Kvantstatisztikai fizika 7 Specifikus rendszerek problémái 7 Hivatkozások 87
Termodinamika I A termodinamika első és második elve Az első elv általános problémái Probléma Bizonyítsuk be, hogy ha a három változó mindegyike és a másik kettő egymástól függetlennek tekinthető differenciálható függvénye, akkor = = () = Akkor Megoldás Legyen a három mennyiség és legyen összekapcsolva = () d = d + d egyenlettel megkülönböztetjük ezt az egyenletet at = const: + = Ezzel bebizonyítottuk a harmadik összefüggést Megkülönböztetjük a d egyenletét at = const: + = Az utolsó két egyenletből következik = () Ezzel bebizonyítottuk a második relációt Végül a második és a harmadik reláció kombinálásával elérjük az első relációt tnar lánc egyenlőség Probléma Bizonyítsuk be az m C = CC m C = CC mm + = 3 összefüggéseket
Megoldás Az első elv második egyenlőségéből đq = du + d = C d + d = Cd + d = md + md meghatározzuk d (CC) d = dd és két oldalán visszahelyezzük a d CC đq kifejezést = d + d CCCC Összehasonlítjuk az utolsó egyenlet két oldalát és megkapjuk a kívánt eredményt. Az utolsó összefüggést az első két ötvözésével kapjuk meg. 3. Bizonyítsuk be a C = CC = C Megoldásokat. Az első elvből đq = C d + d = Cd + d konstansok szerinti megkülönböztetéssel és megkapjuk đq = C = C + đq = C = C + dd Ebből a két egyenletből eljutunk a szükséges relációkhoz 4. feladat Igazoljuk a relációkat (az S index azt jelenti, hogy a derivált kiszámításra kerül adiabatikus folyamathoz đq =) () () S = γ () S () = () γ S γ = () γ ahol γ C/C megoldás Adiabatikus folyamathoz đq = Akkor az első elv egyenletéből következik C d + d = és C d + d = Ebből a két egyenletből kapjuk () CC = S Egy izoterm folyamathoz d = és az első elvből következik d = d ahol () = 4
A két parciális deriváltra kapott kifejezésekből eljutunk az első szükséges relációhoz, a másik két összefüggést hasonlóan igazoljuk. 5. feladat Bizonyítsuk be a dd = K α d összefüggést Megoldás Az egyenletből indulunk ki d = d + d differenciálokban. K és β definíciói, valamint az α = β/K összefüggés a fenti egyenletet a kívánt formára konvertáljuk. A kapott egyenletből differenciálban az ismert K és β integrálásával integrálhatjuk a rendszer hőegyenletét 6. feladat Az egyenlet használata az első elv egy adott rendszer belső energiájához U = U () vagy U = U () kifejezéseket vezet le a CC és CC megoldáshoz. Tekintsük U = U () Ezután írjuk az első elvet UU đq = du + formában d = d + d + d Helyettesítse đq-t a C és C meghatározásában, és kapja meg CU = CUU = + + UCC = + Tekintsük U = U () Ezután az első elvet UU đq = du + d = d formában írjuk + d + d Helyettesítse az đq kódot a CC és C meghatározásában, és kapja meg az UU = + CU = + UCC = 5 értéket
7. feladat Az első elv egyenletének használata az M rendszer adott belső energiájához u = u (m) vagy u = u () levezetik a c M c és cc kifejezéseket Megoldás Tekintsük u = u (m) Ezután írjuk az elsőt elve az új đq = du dm = d + dm dm MMM formában. Helyettesítsük az đq-t c és M c definíciójában, és kapjuk meg c M u = M cuu M = + MM u M cc = MM Tekintsük u = u () Ezután írd be az első elvet uu đq = du dm = d + d dm alakban. Helyettesítsd az đq-t a c és M c definíciójában, és kapjuk meg c M uu = + M cu M = M uc cm = M 8. feladat. (MH) izoterm érzékenység (MH) s χ = és χ = ott van a χ/χ = c/css összefüggés M Megoldás A () (M) S s gázok problémájának helyettesítésével követjük a K/K = C/C megoldását. Vezesse le egy adiabatikus folyamat ideális gázának hőegyenletét
const = γ = γ γ + Ezután a Clapeyron-Mendelejev egyenletet (/) = m MR felhasználva R = γ = ρ ρ γ = m γ M írhatunk. Ezért c S = = ρ R γ M c = = ρ RM cc S = γ> A c képlet Newton-képletként ismert, a c-re pedig Laplace-képletként ismert. 4. feladat Egy diagramon Van der Waals gáz izotermáinak szélsőségét a feltétel határozza meg (/) = Keresse meg az extrém görbe egyenletét Megoldás A van der Waals-egyenlet izotermáinak szélsőségére vonatkozó feltétel () = ν R/ba/is ν R a = + = (b) 3 Ezért megkapjuk az a ab izotermák végtagjainak () görbéjének egyenletét = 3 5. feladat Keresse meg a Van der Waals gázgázegyenlet szélsőséggörbéjének maximumát) Ezt a pontot kritikus pontnak hívjuk Megoldás A szélsőséggörbe maximumának feltétele da 6ab = + = d 3 4 8