Periódusos struktúrák Periodikus struktúrák Periódusos struktúrák

Periodikus szimmetriájú rendszerek Egy töredék (elemi sejt) megismétlődik a térben egy bizonyos távolságban, több irányban. Periodikus (transzlációs) szimmetria A transzláció dimenziójától függően a periodikus rendszerek a következőkre oszlanak: 3D - kristályok 2D - felület (felület, födém) 1D - polimerek (polimerek) 0D - molekulák

Transzlációs vektorok  - transzlációs vektorok a, b, c - az elemi sejt egységvektorai , ,  - P, Q, R, S elemi sejt transzlációs szögei - a kristályban jellemző irányok

Inverz tér A normál térben minden fordítási vektor felírható: r = n1a + n2b + n3c ni - egész számok; a, b, c - a rács egyes vektorai. A transzlációs vektorok leírják a kristály irányait, és a síkok az iránymutatók segítségével írhatók fel: ruvw = ua + vb + wc  [uvw] Hasonlóképpen meghatározható az inverz rács transzlációs vektora: r * = m1a * + m2b * + m3c * mi - egész számok; a *, b *, c * - az inverz rács egyes vektorai. A síkokat a következőképpen írják fel: ghkl = ha * + kb * + lc *  (hkl) h, k, l - A sík Miller-mutatói (hkl).

Inverz tér h = 1/P; k = 1/Q; l = 1/R P, Q, R - a sík metszéspontjainak koordinátái a három transzlációs tengellyel, osztás után a Miller-indexeket mindig egész számokra redukáljuk!

Töréskoordináták Hagyományosan, amikor számítási csomagokba lépnek, az atomkoordinátákat nem Å-ben, hanem úgynevezett törtkoordinátákban állítják be. A tört koordináták a derékszögű koordinátákat képviselik osztva a transzlációs vektor adott irányú nagyságával. A fordítási és a derékszögű koordinátatengelyeknek egybe kell esniük.  Konferencia a koordináták beállításáról a Crystal03-ban

Töréskoordináták C 0,000 3,523 0,000 C 3,550 3,311 1,205 C 2,130 3,311 1,205 C 1,420 2,699 2,265 C 0,000 2,699 2,265 C 3,550 1,762 3,051 C 2,130 1,762 3,051 C 1,420 0,612 3,469 C 0,000 0,612 3,469 C 3,550 -0,612 3,469 C 2,110 -0,612 Derékszögű koordináták Tört koordináták C 0,000 3,523 0,000 C 0,833 3,311 1,205 C 0,500 3,311 1,205 C 0,333 2,699 2,265 C 0,000 2,699 2,265 C 0,833 1,762 3,051 C 0,500 1,762 3,051 C 0,333 0,612 3,469 C 0,000 0,612 3,469 C 0,833 -0,612 3,469 C .

Bloch-tétel hullámvektor F. Bloch által megfogalmazott tétel szerint a periódusos rendszer hullámfüggvénye az elemi sejt és egy fázisfaktor szorzata, amely az elektronsűrűség transzlációs szimmetriájának megőrzéséért felelős. A fázistényező olyan síkhullám, amelynek hullámvektora inverz rácsvektorok lineáris kombinációja. Hullámvektor Az elemi sejtet leíró periodikus függvény Fázistényező (síkhullám) Kristály pálya

Bloch Felix Bloch tétele a "Heisenberg emlékei és a kvantummechanika kezdetei" című cikkében elmagyarázza, hogy a fémben való vezetőképesség elméletének vizsgálata hogyan vezetett a ma ismert Bloch-tételhez. „Amikor elgondolkodtam rajta, úgy éreztem, hogy a fő probléma az volt, hogy elmagyarázzam, hogyan tudnak az elektronok besurranni egy fém összes ionjánál, hogy elkerüljék az átlagos távolságot az atomok közötti sorrendben. Ez a távolság túl rövid volt ahhoz, hogy megmagyarázza a megfigyelt ellenállásokat. Hogy megkönnyítsem az életemet, azzal kezdtem, hogy egydimenziós periodikus potenciálban vettem figyelembe a hullámfunkciókat. Egyenes Fourier-analízissel azt tapasztaltam örömömre, hogy a hullám csak periodikus modulációval különbözik a szabad elektronok síkhullámától. Ez olyan egyszerű volt, hogy nem gondoltam volna, hogy ez nagy felfedezés lehet, de amikor megmutattam Heisenbergnek, azonnal azt mondta: - Ez az! Nos, ez még nem volt egészen így, és a számításaim csak nyáron fejeződtek be, amikor megírtam szakdolgozatomat "A kristályrácsos elektronok kvantummechanikájáról". [F. Bloch 1976, 26. o.] ”